martes, 24 de enero de 2012

Lectura 6: Medidas de los ángulos

Objetivos: Al terminar la actividad usted debe definir un ángulo, saber en qué unidades se miden los ángulos y reconocer algunas relaciones entre ángulos.

Ángulo es la abertura formada por dos semirrectas que tienen un mismo punto de origen llamado vértice. Las semirrectas se llaman lados. El ángulo se designa por una letra mayúscula situada en el vértice o por una letra griega situada dentro del ángulo o por tres letras mayúsculas, de manera que quede en medio la letra que está situada en el vértice del ángulo.

Un ángulo medido en sentido contrario de las manecillas del reloj es positivo. Si se mide en sentido de las manecillas del reloj es negativo.

Medida de los ángulos:

Los ángulos se miden en dos clases de unidades: grados sexagesimales y radianes.

Grados sexagesimales: Un grado es un trescientos sesentavo (1/360) de una rotación completa. Se les llama grados sexagesimales, porque cada grado se divide en 60 partes llamadas minutos y cada minuto se divide en 60 partes llamadas segundos. Los minutos se representan con una comilla (') y los segundos con dos comillas (''). Por ejemplo el ángulo 35°15'20'' se lee (35 grados 15 minutos 20 segundos).

Los ángulos se miden con un instrumento llamado transportador

Existen algunos ángulos importantes en geometría. Un ángulo recto es aquel que mide 90°, un ángulo llano mide 180°, ángulos complementarios son aquellos que suman 90° y ángulos suplementarios son los que suman 180°.

El complemento de un ángulo A, es lo que le falta a este ángulo, para llegar a 90°. Es decir, El complemento de A es 90° − A
El suplemento de un ángulo A, es lo que le falta a este ángulo, para llegar a 180°. Es decir, El suplemento de A es 180° − A

Ejemplos: el complemento de 38° es 90° − 38° = 52°. El suplemento de 103° es 180° − 103° = 77°

Tabla 1
Ángulo en gradosÁngulo en radianes
360°2π rad
180°π rad
90°π/2 rad
60°π/6 rad
45°π/4 rad
30°π/12 rad
57.3°1 rad

Radianes: El radian es la unidad para medir ángulos en un sistema llamado circular y se define como la relación entre la longitud de un arco de circunferencia (s) y el radio de la circunferencia (r). (Ángulo = s/r). La relación entre grados y radianes se muestra en la tabla 1:

Se puede hacer conversiones entre grados y radianes, utilizando regla de tres simple directa y teniendo en cuenta que 180° equivalen a π radianes.

Ejemplo 1: Pasar 150° a radianes
La preguntaPasar 150° a radianes
La regla de tres
180° → π radianes
150° → x
La regla de tres se lee: si 180 grados equivalen a pi radianes, entonces 150 grados, ¿A cuántos radianes equivalen?
La operación

La respuestaSe eliminan los grados y se simplifican las cantidades. La respuesta es

Ejemplo 2: Pasar 4 π radianes a grados
La preguntaPasar 4 π radianes a grados
La regla de tres
180° → π radianes
x → 4π radianes
La operación
La respuestaSe eliminan π y radianes en el numerador y denominador y se multiplica 180 por 4. La respuesta es: X = 720°
taller de lectura 6:
  1. ¿Qué es un ángulo?
  2. ¿Cuáles son los elementos de un ángulo?
  3. ¿Cuáles son las tres formas de designar un ángulo?
  4. ¿Cuándo se considera que un ángulo es positivo y cuando se considera negativo?
  5. Copie la figura 1, con su descripción
  6. ¿En qué unidades se miden los ángulos?
  7. ¿Qué es un grado? ¿Por qué se les llama grados sexagesimales? ¿Cómo se representan los minutos y los segundos? ¿Con qué instrumento se miden los ángulos?
  8. Defina los siguientes términos: ángulo recto, ángulo llano, ángulos complementarios y ángulos suplementarios.
  9. ¿Qué es el complemento de un ángulo y como se halla?
  10. ¿Qué es el suplemento de un ángulo y como se halla?
  11. Copie los ejemplos de complemento y suplemento de un ángulo
  12. Copie la figura 2, con su descripción
  13. ¿Qué es un radian y como se define?
  14. Copie la tabla que establece la relación entre grados y radianes
  15. ¿Cómo se puede hacer conversiones entre grados y radianes?
  16. Copie los ejemplos de conversión entre grados y radianes
    Aplicación:
  17. Dibuje dos ángulos, uno positivo y uno negativo y designe cada uno de las tres formas diferentes (puede utilizar algunas de las siguientes letras griegas: α, β, γ) y señale sus vértices y lados
  18. ¿Cómo se leen los siguientes ángulos?
    1. 27° 51' 10''
    2. 136° 22' 39''
    3. 12° 11' 3''
  19. Calcule:
    1. El complemento de 29°, el complemento de 61° y el complemento de 35°
    2. El suplemento de 18°, el suplemento de 124° y el suplemento de 97°
  20. Realice las siguientes conversiones:
    1. Pasar 50° a radianes
    2. pasar 120° a radianes
    3. Pasar 5π radianes a grados
    4. pasar 3π radianes a grados
Lectura 5: Triángulos rectángulos y triángulos equiláteros

Objetivos: Al terminar la actividad usted debe distinguir los triángulos rectángulos de los equiláteros, aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo y calcular la altura de un triángulo equilátero.

Triángulo Rectángulo: Es uno de los triángulos de mayor importancia en la geometría, por cuanto su estudio es la base para resolver una gran cantidad de problemas. El triángulo rectángulo tiene dos lados llamados catetos, que forman un ángulo recto al unirse y un lado de mayor longitud llamado hipotenusa, que forma con los catetos, ángulos menores a 90°


Pitágoras, un matemático griego, descubrió que los lados de un triángulo rectángulo, se relacionan a través de la siguiente expresión: c2 = a2 + b2. A esta expresión se le conoce como el teorema de Pitágoras. Si queremos hallar la longitud de a, b o c, se deben utilizar las siguientes fórmulas:

Si tomamos como referencia uno de los ángulos agudos, los catetos pueden denominarse como cateto adyacente (aquel que forma con la hipotenusa el ángulo de referencia) y cateto opuesto (aquel que no forma parte del ángulo de referencia).


En la gráfica de la izquierda, se puede observar que el cateto a, hace parte del ángulo B. Por tanto, se dice que a, es el cateto adyacente a B. Del mismo modo, el cateto b, hace parte del ángulo A. Por tanto, el cateto b, es adyacente a A.

En resumen, el nombre de los catetos depende del ángulo de referencia. Si el ángulo de referencia es A, entonces b es el cateto adyacente y a es el cateto opuesto. Pero si el ángulo de referencia es B, entonces a es el cateto adyacente y b es el cateto opuesto.


Triángulo equilátero: El triángulo equilátero se caracteriza por tener todos sus lados iguales Sus ángulos también son iguales. Cada ángulo mide 60°.

Altura de un triángulo equilátero: Al trazar la altura h en el triangulo equilátero, se forman dos triángulos rectángulos. El triángulo rectángulo ADC, tiene hipotenusa (AC) de longitud L, el cateto (AD) de longitud L/2 y el cateto h. Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene que:

Taller de lectura 5:
  1. ¿Por qué son importantes los triángulos rectángulos?
  2. ¿Cómo se llaman los lados en un triángulo rectángulo?
  3. ¿En qué se diferencia un triángulo rectángulo de otros triángulos?
  4. Escriba la expresión que se conoce como teorema de Pitágoras
  5. Dibuje un triángulo rectángulo y ubique la hipotenusa y los catetos
  6. ¿Cómo se llama el cateto que ayuda a formar el ángulo de referencia?
  7. ¿Cómo se llama el cateto que no hace parte del ángulo de referencia?
  8. Copie las fórmulas que permiten calcular la hipotenusa y los catetos de acuerdo con el teorema de Pitágoras
  9. ¿Por qué se caracteriza un triángulo equilátero?
  10. Dibuje el triángulo equilátero y copie la fórmula para hallar su altura
  11. Aplicando las fórmulas del teorema de Pitágoras, halle en cada caso, el lado que falta:
    1. c = 100, a = 80 y b = ?
    2. c = 45, a = ? y b = 27
    3. c = ?, a = 16 y b = 12
    4. c = 15, a = 12 y b = ?
    5. c = 40, a = ? y b = 24
    6. c = ?, a = 24 y b = 18
  12. Halle la altura de un triángulo equilátero de 15 centímetros de lado
  13. Halle la altura de un triángulo equilátero de 30 metros de lado.
Lectura 4: Triángulos y generalidades

Objetivos: Al terminar la actividad usted debe distinguir las clases de triángulos y definir sus elementos.
Triángulo es un plano limitado por tres rectas que se cortan. Los puntos de intercepción de dichas rectas, forman los vértices del triángulo y se nombran siempre con letras mayúsculas. Los segmentos de recta forman los lados del triángulo y se nombran con letras minúsculas. Los lados forman los ángulos interiores del triángulo y se nombran con las letras de los vértices.
El lado opuesto a un ángulo se nombra con la misma letra, pero minúscula

El perímetro (p) de un triángulo es la suma de sus tres lados.
Clasificación de los triángulos

Los triángulos se clasifican de acuerdo con sus lados y de acuerdo con sus ángulos.
De acuerdo con sus lados, los triángulos pueden ser:
  1. Triángulo escaleno: Es aquel que tiene sus tres lados diferentes (de diferente longitud) y por tanto, sus tres ángulos son también diferentes.
  2. Triángulo isósceles: Es aquel que tiene dos lados iguales y por tanto, dos ángulos iguales. Los lados iguales se llaman lados congruentes y se identifican con una pequeña línea sobre dichos lados.
  3. Triángulo equilátero: Es aquel que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos iguales (cada uno equivalente a 60 grados).
De acuerdo con sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
  1. Triángulo acutángulo: Es aquel que tiene los tres ángulos agudos (menores de 90 grados).
  2. Triángulo obtusángulo: Es el que tiene un ángulo obtuso (mayor de 90 grados)
  3. Triángulo rectángulo: Es el que tiene un ángulo recto (igual a 90 grados). En este caso, los lados del triangulo reciben nombres especiales: los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto (el lado más largo) se llama hipotenusa.
La suma de los ángulos internos de un triangulo es 180°
Rectas y Puntos Notables en un Triángulo
  1. Mediana: Es la línea trazada desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. El punto en el que se cortan las medianas se denomina baricentro.
  2. Altura: Es la línea perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. El punto donde se cortan las alturas es llamado ortocentro.
  3. Bisectriz: Es la línea trazada de un vértice a su lado opuesto, de manera que de manera que divide el ángulo en dos ángulos iguales. El punto donde se cortan las bisectrices se llama incentro.
  4. Mediatriz: Es línea perpendicular trazada en el punto medio de cada lado. El punto donde se cruzan las mediatrices se denomina circuncentro. Los tres vértices son puntos de una circunferencia cuyo centro es el circuncentro del triángulo.
Líneas perpendiculares son aquellas que se cortan formando un ángulo de 90 grados
Taller de lectura 4:
  1. ¿Qué es un triángulo?
  2. ¿Qué son vértices y como se nombran?
  3. ¿Cómo se nombran los lados de un triángulo?
  4. ¿Cuál es la diferencia entre ángulo y vértice?
  5. ¿Cómo se nombra el lado opuesto a un ángulo dado?
  6. Copie la figura 1, con su descripción
  7. ¿Cómo se halla el perímetro de un triángulo?
  8. ¿Qué se tiene en cuenta para clasificar los triángulos?
  9. Escriba las definiciones de triángulo escaleno, isósceles y equilátero
  10. ¿Qué se entiende cuando se dice que dos lados de un triángulo son congruentes?
  11. Copie la figura 2, con su descripción
  12. Escriba las definiciones de triángulo acutángulo, triángulo rectángulo y triángulo obtusángulo
  13. ¿Qué nombres reciben los lados de un triángulo rectángulo?
  14. ¿Cuánto suman los ángulos internos de un triángulo?
  15. Escriba la definición de: ángulo agudo, ángulo recto y ángulo obtuso
  16. Copie la figura 3, con su descripción
  17. Copie y complete la siguiente tabla:
    Recta notableDefinición Punto de intercepción
    Mediana..
    Altura.Ortocentro
    Bisectriz..
    MediatrizEs línea perpendicular trazada en el punto medio de cada lado.
  18. ¿Qué son líneas perpendiculares?
  19. Copie la figura 4, con su descripción
  20. Dibuje un triángulo isósceles, un triángulo equilátero, un triángulo escaleno, un triángulo rectángulo y un triángulo obtusángulo.
Lectura 3: Volumen de los principales cuerpos geométricos

Objetivos: Al terminar la actividad usted debe reconocer los principales cuerpos geométricos, utilizar formulas para calcular volúmenes y resolver problemas relacionados.

Volumen es el espacio tridimensional ocupado por un cuerpo. El volumen se mide en unidades de longitud elevadas al cubo. Por ejemplo, metros cúbicos (m3), centímetros cúbicos (cm3), Etc.

Taller de lectura 3:
  1. ¿Qué es volumen y en qué unidades se mide? Dé 2 ejemplos
  2. Dibuje cada uno de los cuerpos, con su nombre y variables.
  3. Copie el cuadro con las fórmulas de volúmenes.
  4. Calcule el volumen de los siguientes cuerpos:
    1. Un cono de 22 cm de radio y 57 cm de altura
    2. Un cubo de 1.25 m de arista (a)
    3. Un cilindro de 0.8 m de altura y 0.253 m de radio
    4. Un paralelepípedo 2 m de ancho, 3 m de largo y 1.51 m de alto
    5. Una esfera de 17.5 pulgadas de radio
    6. Una pirámide de base cuadrada de 10 m de lado y 36 m de altura
    7. Un prisma de base hexagonal de 2 m de lado y 1.732 m de apotema y 4.72 m de altura
    8. Calcule el radio de un cono de 12 m de altura si su volumen es de 314.16 m3. Use la fórmula:
    9. Calcule la altura de un cilindro cuyo volumen es 100 cm3 y su radio es 5 cm. Use la fórmula:
    10. ¿Cuántos centímetros cúbicos de agua caben en un tanque de forma cúbica de 70 cm de lado?
    11. Se requiere empacar 350 cm3 de gaseosa en latas cilíndricas de 8.5 cm de alto. ¿Cuál debe ser el radio de dichas latas? Use la fórmula:
    12. Para empacar botellas de whisky, se requieren cajas de base cuadrada. Las botellas tienen 4 cm de radio y 31 cm de altura. ¿Cuál debe ser el volumen de las cajas?
    13. ¿Cuál debe ser el volumen mínimo de un cubo de madera con el cual se quiere construir una esfera de 2 pulgadas de diámetro?
Lectura 2: Áreas de las figuras planas más comunes

Objetivos: Al terminar la actividad usted debe reconocer las figuras planas más comunes en geometría, utilizar las fórmulas para calcular áreas y resolver problemas relacionados

Área es la medida de la superficie de un plano. Como se miden dos dimensiones, las unidades de área, son unidades de longitud elevadas al cuadrado. Por ejemplo; metros cuadrados (m2), centímetros cuadrados (cm2), kilómetros cuadrados (Km2), Etc.


Tabla de convenciones
L h b B D d a R p
lado altura base Base mayor Diagonal mayor diagonal apotema radio perímetro

Perímetro: suma de los lados de un polígono. Para calcularlo, se multiplica el número de lados por su longitud.

Apotema: Línea trazada desde el centro de un polígono regular, perpendicularmente hasta uno de los lados.(Polígono regular es el que tiene lados iguales y ángulos iguales)

La siguiente tabla muestra las fórmulas para las áreas de las figuras planas.


El área de cualquier polígono regular se halla multiplicando la longitud del lado, por el número de lados, por el apotema y dividiendo este resultado entre dos.

Para utilizar las fórmulas, se deben reemplazar los valores de cada variable y realizar las operaciones indicadas.

Ejemplo: calcular el área de un pentágono de lado 4cm y apotema 6.882 cm.
Solución: La fórmula para el área del pentágono es A=(p×a)/2. Para aplicarla, se debe conocer perímetro y apotema.
Como el lado es L = 5 cm, entonces, P = 4 cm × 5 = 20 cm (porque el perímetro es la suma de los lados)
Se aplica la fórmula:
A=(20cm×6.882cm)/2=68.82 cm2

Taller de lectura 2:
  1. ¿Qué es área y cuantas dimensiones tiene?
  2. ¿Cuáles son las unidades de área? Dé 3 ejemplos
  3. Dibuje cada una de las figuras con su nombre y variables.
  4. Copie la tabla de convenciones para que recuerde que significan las letras en las figuras.
  5. Escriba las fórmulas para calcular el área de cada una de las figuras.
  6. ¿Qué es el perímetro y cómo se calcula?
  7. ¿Qué es apotema
  8. ¿Cuál es el valor de pi (π)?
  9. ¿Qué es un polígono regular?
  10. ¿Cómo se halla el área de cualquier polígono regular?
  11. ¿Qué debe hacerse para utilizar una fórmula?
  12. Copie el ejemplo con su solución
  13. Realice los siguientes ejercicios:
    1. Halle el área de un cuadrado de lado 7.5 metros
    2. Halle el área de un rectángulo cuya base es 2.3 cm y su altura 1.2 cm
    3. Halle el área de un triángulo de base 13.4 pulgadas y altura 8.1 pulgadas
    4. Halle el área de un paralelogramo de base 123.2 metros y altura 45.65 metros
    5. Halle el área de un rombo que tiene una diagonal mayor de 12 cm y una diagonal menor de 8.49 cm
    6. Halle el área de un trapecio de 12 metros de altura, base mayor 19.23 metros y base menor 15.1 metros
    7. Halle el área de un círculo de radio 7.68 metros
    8. Halle el área de un pentágono de lado 53.16 metros y apotema 73.17 metros
    9. Halle el área de un hexágono de lado 12 cm y apotema 20.78 cm
    10. Halle el área de un octágono de lado 65 metros y apotema 156.92 metros
    11. Halle el área de un decágono de lado 8 cm y apotema 24.62 cm

Lectura 1: Nociones generales de geometría

Objetivo: Al terminar la actividad, usted debe conocer los conceptos básicos de la geometría

Geometría: La geometría es la rama de las matemáticas que trata de las propiedades, medidas y relaciones entre elementos lineales, planos y espaciales de los cuerpos. Inicialmente, la geometría sintética, consideraba las figuras como un todo; Luego, la geometría analítica pasó a expresar los puntos del plano y del espacio mediante coordenadas en un sistema de referencia, permitiendo relacionar la geometría con el álgebra. Entre los principales estudiosos de la geometría está Euclides, quien desarrolló la mayoría de los conceptos de la geometría plana; Pitágoras, reconocido por su teorema relacionado con los triángulos rectángulos y Arquímedes, quien hizo análisis del círculo, la circunferencia, la esfera y el cono. Es evidente la aplicación de la geometría en áreas como la topografía, la arquitectura y el arte, pero también es útil en astronomía, en el análisis del espacio-tiempo, como es el caso de la geometría fractal.

Conceptos básicos: entre los conceptos básicos de geometría están:

El punto: No tiene dimensiones, La idea de punto está sugerida por la huella que deja un lápiz bien afilado en una hoja de papel. Aún así, los demás elementos de la geometría se definen como conjuntos infinitos de puntos. Los puntos se denotan con letras mayúsculas y se representan con un pequeño círculo o con una x.

La línea es un conjunto especial de puntos. Si los puntos se alinean en una misma dirección y sentido, se dice que la línea es recta. De lo contrario será una curva. Las líneas rectas más importantes son: la recta, que se extiende hacia el infinito en sus dos extremos; la semirrecta que se extiende hacia el infinito en uno de sus extremos y tiene por tanto, un punto de origen; y el segmento que es la distancia entre dos puntos llamados origen y extremo.

Son muchas las relaciones que se pueden establecer entre dos o más líneas, pero las más importantes son paralelismo y perpendicularidad. Dos o más líneas son paralelas cuando siguen la misma dirección sin llegar a tocarse o cruzarse. Los rieles en un ferrocarril son paralelos. Dos líneas son perpendiculares cuando se cortan o tocan formando un ángulo recto (90°). Si se cortan formando un ángulo diferente a 90°, se denominan líneas oblicuas.

Vértice es el punto donde se cortan dos líneas. El espacio o abertura entre dos líneas que se cortan, se llama ángulo



Elementos de la circunferencia: La línea curva más importante en geometría es, sin lugar a dudas, la circunferencia. Esta se define como una línea cuyos puntos son equidistantes de un punto llamado centro. (Equidistante significa a igual distancia).
La figura 1, muestra los elementos de la circunferencia:
Centro: punto central (O)
Tangente: línea que toca la circunferencia en un punto (segmento AB)
Cuerda: línea que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro (segmento CD)
Diámetro: línea que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro (segmento GH)
Radio: línea que une un punto de la circunferencia con el centro (segmento OP)
Secante: línea que corta a la circunferencia en dos puntos (segmento EF)

Un plano es un sector del espacio encerrado por una línea curva o por la intercepción de tres o más líneas rectas. La circunferencia, la elipse, el triangulo, el cuadrado etc., son ejemplos de planos. La medida de la superficie de un plano se conoce como área y la suma de sus lados es el perímetro.

Plano# de lados# de vérticesEjemplos
Triangulo3 3Triangulo equilátero
Triangulo isósceles
Triangulo escaleno
Cuadrilátero4 4Cuadrado
Rectángulo
Rombo
trapecio
Polígono55 Pentágono
66 Hexágono
88 Octágono
1010 Decágono

Los polígonos son planos con más de 4 lados. Se denominan polígonos regulares a los polígonos que tienen lados y ángulos iguales.



Taller de lectura 1:

  1. ¿Qué es geometría?
  2. ¿Cuál es la diferencia entre geometría sintética y geometría analítica?
  3. ¿Cuáles fueron los aportes de Euclides, Pitágoras y Arquímedes a la geometría?
  4. ¿En qué áreas es aplicable la geometría?
  5. ¿En qué campo del conocimiento es útil la geometría fractal?
  6. ¿Qué es un punto? ¿Cómo se denotan y se representan los puntos?
  7. ¿Qué es una línea?
  8. ¿Qué diferencia hay entre línea recta y línea curva?
  9. Escriba las definiciones de recta, semirrecta y segmento
  10. ¿Qué son líneas paralelas?
  11. ¿Qué son líneas perpendiculares?
  12. ¿Qué son líneas oblicuas?
  13. Escriba las definiciones de vértice y ángulo
  14. Copie la tabla que resume la representación de los elementos geométricos
  15. ¿Qué es una circunferencia?
  16. ¿Qué significa la palabra “equidistante”?
  17. Copie la figura 1 y escriba la definición de cada uno de los elementos de la circunferencia
  18. ¿Qué es un plano? Cite tres ejemplos
  19. Escriba las definiciones de área y perímetro
  20. ¿Qué es un polígono regular?
  21. Copie la tabla que muestra los ejemplos de triángulos, cuadriláteros y polígonos
  22. Dibuje las figuras de los cuadriláteros y polígonos. Escriba los nombres y póngales color.